آنالیز حقیقی و مختلط والتر رودین
تهیه کننده : دکتر خدیجه احمدی آملی
درس : آنالیز حقیقی ۱
۴ واحد
فهرست
فصل ۱ انتگرال گیری مجرد (۸۴ اسلاید)
فصل ۲ اندازه های بورل مثبت (۱۱۹ اسلاید)
فصل ۳ فضاهای (۳۵ اسلاید)
فصل ۴ نظریه مقدماتی فضای هیلبرت (۷۹ اسلاید)
فصل ۵ چند نمونه از فضای باناخ (۹۱ اسلاید)
انتگرالگیری مجرد
هدف کلی
هدف کلی این بخش ارئه ی نوعی انتگرال می باشد که بتواند جایگزین انتگرال ریمان باشد.
آنالیز حقیقی و مختلط والتر رودین در انتهای این بخش هدفهای رفتاری زیر را از فرا گیرنده انتظار داریم:
۱) بتواند نشان دهد مجموعه ای -جبر است یا خیر.
۲) بتواند تشخیص دهد تابعی اندازه پذیر است یا خیر.
۳) مفهوم اندازه مثبت را بداند.
۴) مجموعه بورل را تعریف کند.
۵) مفاهیم انتگرال گیری از توابع مثبت و مختلط را بداند.
۶) نقش مجموعه های از اندازه ی صفر را بداند..
- ۲ تعریف.
(آ)گردایه ی از زیرمجموعه های مجموعه ی را یک توپولوژی در گوییم اگر از سه خاصیت زیر بهره مند باشد:
(یک) و .
(دو) هرگاه به ازای ، آنگاه ؛
(سه) هرگاه گردایه ی دلخواهی از اعضای (متناهی، شمارشپذیر، یا شمارش ناپذیر) باشد، آنگاه .
(ب) هرگاه یک توپولوژی در باشد، آنگاه را یک فضای توپولوژیک و اعضای را مجموعه های باز در می نامند.
(پ) هرگاه و دو فضای توپولوژیک بوده و نگاشتی از به توی باشد، آنگاه گوییم پیوسته است اگر به ازای هر مجموعه ی باز در مجموعه ی بازی در باشد.
- ۳ تعریف.
(آ) گردایه ی Mاز زیر مجموعه های مجموعه ی را یک – جبر در نامیم اگر M از خواص زیر بهره مند باشد:
(یک) M،
(دو) هرگاه M، آنگاه M که در آن متمم نسبت به است؛
(سه) هرگاه و به ازای ، M، آنگاه M.
(ب)آنالیز حقیقی و مختلط والتر رودین هرگاه M یک – جبر در باشد، آنگاه را یک فضای اندازه پذیر و اعضای M را مجموعه های اندازه پذیر در می نامیم.
(پ) هرگاه یک فضای اندازه پذیر، یک فضای توپولوژیک و نگاشتی از به توی باشد، آنگاه گوییم اندازه پذیر است اگر به ازای هر مجموعه ی باز در ، یک مجموعه ی اندازه پذیر در باشد.
- ۴ نکاتی راجع به تعریف ۱٫ ۲٫ متداولترین فضاهای توپولوژیک فضاهای متری اند.
یک فضای متری مجموعه ای است مانند که در آن یک تابع فاصله (یا متر) مانند با خواص زیر تعریف شده است:
(آ) به ازای هر و در ، ؛
(ب) اگر وفقط اگر ؛
(پ) به ازای هر و در ، ؛
(ت) به ازای هر و و در ، .
خاصیت (ت) نامساوی مثلثی نام دارد.
اگر و ، گوی باز به مرکز و شعاع عبارت است از مجموعه ی
هرگاه یک فضای متری بوده و گردایه ی تمام مجموعه های باشد که اجتماع های دلخواه گوی های بازند، آنگاه یک توپولوژی در است.
مثلاً در خط حقیقی یک مجموعه باز است اگر و فقط اگر اجتماع بازه های باز باشد. در صفحه ی مجموعه های باز عبارتند از اجتماع قرص های مستدیر باز.
فضای توپولوژیک دیگری که کراراً به آن برمی خوریم خط حقیقی وسعت یافته ی است. توپولوژی آن به این صورت تعریف می شود که مجموعه های ، ، و هر اجتماع از این نوع بازه ها را باز می گیریم.
آنالیز حقیقی و مختلط والتر رودین نگاشت از به توی را در نقطه پیوسته گوییم اگر به هر همسایگی از یک همسایگی مانند از نظیر باشد که .
(طبق تعریف، هر همسایگی نقطه ی یک مجموعه ی باز شامل می باشد.)
- ۵ حکم.
- فرض کنیم و فضاهایی توپولوژیک باشند. نگاشت از به توی پیوسته است اگر و فقط اگر در هر نقطه از پیوسته باشد.
- ۶ نکاتی راجع به تعریف ۱٫ ۳٫
- فرض کنیم M یک – جبر در مجموعه ی باشد. با توجه به خواص (یک) تا (سه) تعریف ۱-۳ قسمت (آ)، نکات زیر بی درنگ حاصل میشوند.
(آ) چون ، از (یک) و (دو) نتیجه می شود که M.
(ب) با فرض در (سه) معلوم می شود که اگر به ازای ، M داریم M .
(پ) چون
M تحت تشکیل اشتراک های شمارشپذیر (و نیز متناهی) بسته است.
(ت) از آنجا که ، اگر M و M ، داریم M.
پیشوند اشاره به این دارد که (سه) باید به ازای جمیع اجتماع های شمارشپذیر از اعضای M برقرار باشد. هرگاه (سه) فقط برای اجتماع های متناهی برقرار باشد، M را یک جبر مجموعه ها می نامیم
قضیه.
فرض کنیم و فضاهایی توپولوژیک بوده و
پیوسته باشد.
(آ) هرگاه یک فضای توپولوژیک و پیوسته بوده و . آنگاه نیز پیوسته است.
(ب) هرگاه یک فضای اندازه پذیر و اندازه پذیر بوده و ، آنگاه نیز اندازه پذیر است.
برهان.
هرگاه در باز باشد، آنگاه در باز است و
اگر پیوسته باشد، باز است و (آ) را ثابت می کند. اگر اندازه پذیر باشد، اندازه پذیر است و (ب) را ثابت خواهد کرد. ¾
- ۸ قضیه.
- فرض کنیم و توابعی اندازه پذیر و حقیقی بر فضای اندازه پذیر بوده و یک نگاشت پیوسته از صفحه به توی فضای توپولوژیک باشد، و به ازای تعریف می کنیم
در این صورت اندازه پذیر می باشد.
برهان.
قرار می دهیم . چون ، بنابر قضیه ی ۱٫ ۶ کافی است اندازه پذیری را ثابت کنیم. ¾
- ۹٫ فرض کنیم یک فضای اندازه پذیر باشد.
(آ) هرگاه که در آن و توابعی اندازه پذیر و حقیقی بر اند، آنگاه یک تابع اندازه پذیر مختلط بر می باشد.
این امر از قضیه ی ۱ .۸ به ازای نتیجه می شود.
(ب) هرگاه یک تابع اندازه پذیر مختلط بر باشد، آنگاه ،
و توابعی اندازه پذیر و حقیقی بر می باشند.
این امر از قضیه ی ۱٫ ۷ به ازای ، و نتیجه میشود.
(پ) هرگاه و توابعی اندازه پذیر و مختلط بر باشند، آنگاه
و نیز چنین اند.
(ت) هرگاه یک مجموعه ی اندازه پذیر در بوده و
آنگاه یک تابع اندازه پذیر می باشد.
این امر واضح است. ما را تابع مشخص مجموعه ی نامیده و حرف را در سراسر متن برای توابع مشخص حفظ میکنیم.
(ث) اگر یک تابع اندازه پذیر مختلط بر باشد، یک تابع اندازه پذیر مختلط مانند بر هست به طوری که و .
برهان. فرض کنیم و صفحه ی مختلط باشد که مبدأ از آن برداشته شده است به ازای تعریف می کنیم و قرار می دهیم .اگر ، ؛ اگر ، .چون بر پیوسته و اندازه پذیر است، اندازه پذیری از (پ)، (ت) و قضیه ی ۱٫ ۷ نتیجه می شود. ¾
- ۱۰ قضیه. اگر F گردایه ای از زیر مجموعه های باشد، کوچکترین
– جبر در مانند M موجود است به طوری که M F .
گاهی این M را – جبر تولید شده به وسیله F می نامند.
برهان. فرض کنیم خانواده تمام – جبرهای M در باشد که شامل F اند.
فرض کنیم M* اشتراک تمام M ها باشد. واضح است که M F و M* در هر – جبر در که شامل F باشد قرار دارد. می توان نشان داد که M* خود یک – جبر است. ¾
- ۱۱ مجموعه های بورل. فرض کنیم یک فضای توپولوژیک باشد. بنا بر قضیه ی ۱ .۱۰، کوچکترین – جبر مانند B در هست به طوری که هر مجموعه باز در متلعق به B است. اعضای Bرا مجموعه های بورل می نامند.
اجتماع شمارشپذیر از مجموعه های بسته را و اشتراک شمارشپذیر از مجموعه های باز را می نامیم.
فضای اندازه پذیر (B ، ) را در نظر می گیریم. هرگاه
یک نگاشت پیوسته از بوده و یک فضای توپولوژیک باشد، آنگاه از تعاریف واضح است که به ازای هر مجموعه باز در ، B .
به عبارت دیگر، هرنگاشت پیوسته از اندازه پذیر بورل می باشد.
نگاشت های اندازه پذیر بورل را اغلب نگاشت های بورل یا توزیع بورل می نامند.
- ۱۲ قضیه. فرض کنیم M یک – جبر در و یک فضای توپولوژیک باشد. همچنین مجموعه را به توی بنگارد.
(آ) هرگاه گردایه تمام مجموعه های باشد که M
آنگاه یک – جبر در است.
(ب) هرگاه اندازه پذیر و یک مجموعه بورل در باشد، آنگاه M.
(پ) هرگاه و به ازای هر ی حقیقی، M
آنگاه اندازه پذیر می باشد.
(ت) هرگاه اندازه پذیر و یک فضای توپولوژیک و
یک نگاشت بورل بوده و ، آنگاه
اندازه پذیر است.
برهان.
(آ) از روابط
و
نتیجه می شود.
(ب) فرض کنیم همانند در (آ) باشد. اندازه پذیری ایجاب می کند که شامل تمام مجموعه های باز در باشد، و چون یک – جبر است، شامل تمام مجموعه های بورل در می باشد.
(پ) فرض کنیم گردایه تمام هایی باشد که M عدد حقیقی را اختیار کرده و را چنان می گیریم که وقتی ، . چون به ازای هر ، و
و نیز (آ) – جبر بودن را نشان می دهد، معلوم می شود که همین امر در مورد برقرار است. چون هر مجموعه ی باز در اجتماع شمارشپذیری از بازه های باز از نوع فوق است، شامل هر مجموعه ی باز می باشد. لذا اندازه پذیر می باشد.
برای اثبات (ت) فرض می کنیم باز باشد. در این صورت یک مجموعه ی بورل است و چون
قسمت (ب) نشان می دهد کهM ¡
مشاهده و دانلود فایل
